Algèbre linéaire Exemples

[\begin{array}{c} 0 & 4 & 6 \\ 3 & 5 & 4 \\ 6 & 8 & 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 0 & 4 & 6 \\ 3 & 5 & 4 \\ 6 & 8 & 6 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

1

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 8 & 6 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 8 & 6 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

0 | \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 8 & 6 \end{array} |

$0 | \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 8 & 6 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 6 & 6 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 6 & 6 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

- 4 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 6 & 6 \end{array} |

$- 4 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 6 & 6 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |

$6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

0 | \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 8 & 6 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 6 & 6 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |

$0 | \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 8 & 6 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 6 & 6 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |$

0 | \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 8 & 6 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 6 & 6 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |

$0 | \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 8 & 6 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 6 & 6 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |$

Étape 2

Multipliez

0

$0$ par

| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 8 & 6 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 8 & 6 \end{array} |$ .

0 - 4 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 6 & 6 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |

$0 - 4 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 6 & 6 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez

| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 6 & 6 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 6 & 6 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

0 - 4 (3 \cdot 6 - 6 \cdot 4) + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |

$0 - 4 (3 \cdot 6 - 6 \cdot 4) + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez

3

$3$ par

6

$6$ .

0 - 4 (18 - 6 \cdot 4) + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |

$0 - 4 (18 - 6 \cdot 4) + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez

- 6

$- 6$ par

4

$4$ .

0 - 4 (18 - 24) + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |

$0 - 4 (18 - 24) + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |$

0 - 4 (18 - 24) + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |

$0 - 4 (18 - 24) + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Soustrayez

24

$24$ de

18

$18$ .

0 - 4 \cdot - 6 + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |

$0 - 4 \cdot - 6 + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |$

0 - 4 \cdot - 6 + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |

$0 - 4 \cdot - 6 + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |$

0 - 4 \cdot - 6 + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |

$0 - 4 \cdot - 6 + 6 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez

| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 6 & 8 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

0 - 4 \cdot - 6 + 6 (3 \cdot 8 - 6 \cdot 5)

$0 - 4 \cdot - 6 + 6 (3 \cdot 8 - 6 \cdot 5)$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez

3

$3$ par

8

$8$ .

0 - 4 \cdot - 6 + 6 (24 - 6 \cdot 5)

$0 - 4 \cdot - 6 + 6 (24 - 6 \cdot 5)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez

- 6

$- 6$ par

5

$5$ .

0 - 4 \cdot - 6 + 6 (24 - 30)

$0 - 4 \cdot - 6 + 6 (24 - 30)$

0 - 4 \cdot - 6 + 6 (24 - 30)

$0 - 4 \cdot - 6 + 6 (24 - 30)$

Étape 4.2.2

Soustrayez

30

$30$ de

24

$24$ .

0 - 4 \cdot - 6 + 6 \cdot - 6

$0 - 4 \cdot - 6 + 6 \cdot - 6$

0 - 4 \cdot - 6 + 6 \cdot - 6

$0 - 4 \cdot - 6 + 6 \cdot - 6$

0 - 4 \cdot - 6 + 6 \cdot - 6

$0 - 4 \cdot - 6 + 6 \cdot - 6$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

- 6

$- 6$ .

0 + 24 + 6 \cdot - 6

$0 + 24 + 6 \cdot - 6$

Étape 5.1.2

Multipliez

6

$6$ par

- 6

$- 6$ .

0 + 24 - 36

$0 + 24 - 36$

0 + 24 - 36

$0 + 24 - 36$

Étape 5.2

Additionnez

0

$0$ et

24

$24$ .

24 - 36

$24 - 36$

Étape 5.3

Soustrayez

36

$36$ de

24

$24$ .

- 12

$- 12$

- 12

$- 12$